根心の存在が自明に思える図
を中心とする3円が互いに2点ずつ(
)で交わっている状況を考えます（下図）。このとき3本の直線
は一点で交わります。これを3円の根心と言います。
さらっと書いてしまいましたが、本当に一点で交わるの？と疑問に思われる方も多いでしょう（私も初めて聞いたときは驚きました）。このことは方べきの定理を用いて示すことができます。証明は以下に詳しく書かれています。
しかし、実は根心の存在は直感的に明らかな形で理解する方法があります（厳密な証明には向きませんが）。
3つの三角形に着目します。
ここでこの図を3次元空間内のある平面に置かれたものと考え、それぞれの三角形をを軸に回転させると、下図のように三角錐を組み立てることができます。
回転させる過程を上から見れば、はそれぞれ直線
上を動くので、出来上がる三角錐の頂点（を上から見た点）がちょうど根心になっています。
3次元に生きていて本当によかったですね。
