【解答募集】平面上の凸図形に含まれる多角形の面積

追記：解決したので「解決編」を書きました．

fibonacci-freak.hatenablog.com

私は今（2017年12月5日現在），こんな問題を考えています．

問題．平面上の凸図形 $X$ に対し，「 $X$ に含まれる $n$ 角形の面積の最大値を $X$ の面積で割ったもの」を $M_n(X)$ と書く． $X$ を動かしたとき， $M_n(X)$ のとりうる値の最小値は何か？

たとえば $X$ が正六角形の場合， $M_3(X)=\dfrac{1}{2}, M_4(X)=\dfrac{2}{3}$ 等となります． $n$ を大きくしていくと $M_n(X)$ は1に近づくことも推測されます．

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今のところ自分で導けた結果は次の2つです．

命題． $M_3(X)\gt\dfrac{1}{3}$ .

証明．凸図形 $X$ に含まれる三角形のうち面積が最大のものを1つ取り，その頂点を $A, B, C$ とする．これらは $X$ の周上にあるとしてよい． $ABC$ を $180^\circ$ 回転させた図形（以下「耳」と呼ぶ）を各辺に貼り付けると，下図のような大きな三角形が得られる．面積の最大性から， $X$ はこの三角形に含まれることがわかり， $M_3(X)\gt\dfrac{1}{4}$ が従う．

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さらに $X$ のうち3つの耳に含まれる部分の面積を評価する．3つの耳を平行移動して全て重ねた時， $X$ と交わっていた部分（図の赤い部分）全てに含まれる点があったとすると，もとの図形の中でそれらは $ABC$ と等しい面積を持つ三角形をなす．ゆえに赤い部分は境界以外では高々2つまでしか交わらないので，赤い部分の面積は $ABC$ の高々2倍であり， $X$ の面積は $ABC$ の高々3倍であることがわかる．よって $M_3(X)\gt\dfrac{1}{3}$ ． $\square$

命題． $M_4(X)\gt\dfrac{1}{2}$ .

証明．凸図形 $X$ に含まれる四角形のうち面積が最大のものを1つ取り，その頂点を $A, B, C, D$ とする．これらは $X$ の周上にあるとしてよい． $A,C$ それぞれを通り対角線 $BD$ に平行な直線と， $B,D$ それぞれを通り対角線 $AC$ に平行な直線を描くと， $ABCD$ の2倍の面積を持つ平行四辺形が得られる．面積の最大性から $X$ はこの平行四辺形に含まれることがわかり， $M_4(X)\gt\dfrac{1}{2}$ が従う． $\square$