振り子の幾何学 - フィボナッチ・フリーク

振り子に勢いよく初速を与えると、跳ね上がって糸がたるむことがありますね。

このとき、「糸がたるみ始める地点」と「球が落下して糸がピンと張る地点」の間には綺麗な関係があります。実は鉛直上方向から角度を測ると、角度の比（図の $\theta_1:\theta_2$ ）は必ず $1:3$ になるのです！（図は不正確ですがご容赦ください）

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この現象には次のような数学的な背景があります。

命題. 軸が $y$ 軸に平行な放物線上に4点 $A,B,C,D$ をとる。 $AC,BD$ の交点を $P$ とする。 $A,B,C,D,P$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $A',B',C',D',P'$ とすると、

$A'P'\cdot P'C'=B'P'\cdot P'D'.$

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この命題は円に対する方べきの定理の放物線における類似なので、俗に「放べきの定理」などと呼ばれています。

証明. 適当に線形変換（行列表示の右上成分が $0$ のもの）と平行移動をすることで、放物線が $y=x^2-1$ 、 $AC:y=0$ 、 $BD:y=k(x-a)$ の場合に帰着できる。 $B,D$ の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha,\beta$ とすると、これらは $x^2-1=k(x-a)$ の解なので

となり成り立っている。 $~~~\square$

これを使うと、円と放物線の交点の性質が明らかになります。

命題. $x$ 軸に平行な軸を持つ放物線と単位円が図のように4点 $A,B,C,D$ で交わっているとする。 $x$ 軸正方向から $A,B,C,D$ まで反時計回りに測った角の大きさをそれぞれ $a,b,c,d$ とすると

$a+b+c+d=0~\mathrm{mod}~2\pi.$

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証明. $2\pi$ の差は無視されるので、図のような角の取り方のみで示せばよい。 $AC,BD$ と $x$ 軸のなす角を $\theta,\phi$ とする。 $AC,BD$ の交点を $P$ とすると、通常の方べきの定理より

$AP\cdot PC=BP\cdot PD.$

一方上の命題から

$AP\cdot PC\cos^2\theta=BP\cdot PD\cos^2\phi.$

ゆえに $\theta=\phi$ がわかる。 $\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{\pi}{2}-\theta=\dfrac{\pi}{2}-\phi=~\dfrac{(2\pi-b)+(2\pi-d)}{2}$ なので命題を得る。 $~~~\square$

さて、これがどう振り子と関係するのでしょうか。

振り子が跳ね上がる際、糸がたるみ始めるまでは球は円周上を動きます。糸がたるむと、球は重力によって放物線を描きます。たるむ瞬間に球に撃力が働くことはないので、運動方程式を考えれば、糸がたるむ直前と直後で位置・速度・加速度が一致しています。これはすなわちその点で円と放物線が3重に接していることを表しています。

そこで上の命題で3点 $A,C,D$ が一点に近づく極限を考えれば、それはまさしく冒頭の図で $\theta_1:\theta_2=1:3$ となることを表しています。

実際にこの現象が起きるのか気になった方は、ぜひ実験して確かめてみてください。