フィボナッチ・フリーク

数学の小ネタ集。

根心の存在が自明に思える図

O_1, O_2, O_3を中心とする3円が互いに2点ずつ(A,A',B,B',C,C')で交わっている状況を考えます(下図)。このとき3本の直線AA', BB', CC'は一点で交わります。これを3円の根心と言います。

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さらっと書いてしまいましたが、本当に一点で交わるの?と疑問に思われる方も多いでしょう(私も初めて聞いたときは驚きました)。このことは方べきの定理を用いて示すことができます。証明は以下に詳しく書かれています。

mathtrain.jp

しかし、実は根心の存在は直感的に明らかな形で理解する方法があります(厳密な証明には向きませんが)。

3つの三角形\triangle{O_1O_2A}, \triangle{O_2O_3B}, \triangle{O_3O_1C}に着目します。

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ここでこの図を3次元空間内のある平面に置かれたものと考え、それぞれの三角形をO_1O_2, O_2O_3, O_3O_1を軸に回転させると、下図のように三角錐を組み立てることができます。

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回転させる過程を上から見れば、A,B,Cはそれぞれ直線AA',BB',CC'上を動くので、出来上がる三角錐の頂点(を上から見た点)がちょうど根心になっています。

3次元に生きていて本当によかったですね。