等辺多角形と代数的整数
今回は次の面白い定理を証明します.
証明には次の事実を用います.
証明.の
上のモニック最小多項式を
]とすると,
の次数は
の次数以下であり,また
の根の絶対値は全て1なので,三角不等式より
の係数の絶対値は二項係数で上から評価される.よって
は有限集合であり,その根である
も有限個の値しかとらない.
定理の証明.一般性を失わず辺の長さを1としてよい.番目,
番目の頂点がそれぞれ
に来るように,多角形を複素平面
上に配置する.仮定より
番目の頂点
はいくつかの1の冪根の和として表され,また
である.特に
はある円分体
の代数的整数である.
の作用は複素共役と可換なので
の共役元は全て絶対値が1であり,上の補題より
は1の冪根であることが従う.これが示したいことであった.