等辺多角形と代数的整数 - フィボナッチ・フリーク

今回は次の面白い定理を証明します．

定理．全ての辺の長さが等しい多角形に対し，その内角を反時計回りに $\theta_1,\dots,\theta_n$ とする． $\theta_1,\dots,\theta_{n-2}$ が全て有理数度ならば， $\theta_{n-1}, \theta_n$ も有理数度である．

証明には次の事実を用います．

補題(Kronecker)．代数的整数 $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し，その全ての共役元の絶対値が1ならば， $\alpha$ は1の冪根である．

証明． $\alpha^n$ の $\mathbb{Q}$ 上のモニック最小多項式を $f_n(x)\in \mathbb{Z}[x$ ]とすると， $f_n$ の次数は $f_1$ の次数以下であり，また $f_n$ の根の絶対値は全て1なので，三角不等式より $f_n$ の係数の絶対値は二項係数で上から評価される．よって $\{f_n\}$ は有限集合であり，その根である $\alpha^n$ も有限個の値しかとらない． $\square$

定理の証明．一般性を失わず辺の長さを1としてよい． $n$ 番目， $1$ 番目の頂点がそれぞれ $0,1$ に来るように，多角形を複素平面 $\mathbb{C}$ 上に配置する．仮定より $n-1$ 番目の頂点 $\alpha$ はいくつかの1の冪根の和として表され，また $|\alpha|=1$ である．特に $\alpha$ はある円分体 $K$ の代数的整数である． $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ の作用は複素共役と可換なので $\alpha$ の共役元は全て絶対値が1であり，上の補題より $\alpha$ は1の冪根であることが従う．これが示したいことであった．