Fibonacci数を隠し持つ積分 - フィボナッチ・フリーク

次の定積分の値は何になるでしょうか？

$\displaystyle{I=\int_0^1 \log(1 + 4\cos^2 \pi x) dx}$

実はこの積分はFibonacci数と深い関係があります。
被積分関数は $x = 1/2$ を挟んで対称なので

$\displaystyle{I=2\int_0^{1/2}\log(1 + 4\cos^2\pi x) dx\\= \int_0^1\log\left(1+4\cos^2\dfrac{\pi x}{2}\right)dx\\=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\log\left(1+4\cos^2\frac{k\pi}{2n}\right)\\=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log\left(\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+4\cos^2\frac{k\pi}{2n}\right)\right).}$

ここで $\log$ の中身の積の部分に注目します。これは実はFibonacci数になっています（！）Fibonacci数とは

$F_1=F_2=1, F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$

で定義される数列でした。 $\zeta_n = \exp\left(\dfrac{2\pi i}{n}\right), \phi=\dfrac{1+\sqrt5}{2},\bar\phi=\dfrac{1-\sqrt5}{2}$ と置きます。 $\phi,\bar\phi$ は $x^2=x+1$ の2解なので

$\phi^2+\bar\phi^2=3\\ \phi^2- \bar\phi^2=\sqrt5\\ \phi\bar\phi=-1$

などがわかります。またFibonacci数の一般項は

$F_n=\dfrac{\phi^n-\bar\phi^n}{\sqrt5}$

と書くことができます。
さて、半角公式を使うと先ほどの積の部分は

$\displaystyle{\prod_{k=1}^{n-1}\left(3+2\cos\frac{k\pi}{n}\right)\\ =\prod_{k=1}^{n-1}\left(\phi^2+\bar\phi^2-2\phi\bar\phi\cos\frac{k\pi}{n}\right)\\ =\frac{\phi^2-\bar\phi^2}{\sqrt5}\prod_{k=1}^{n-1}(\phi-\zeta_{2n}^k\bar\phi)(\phi-\zeta_{2n}^{-k}\bar\phi)\\ =\frac{1}{\sqrt 5}\prod_{k=0}^{2n-1}(\phi-\zeta_{2n}^k\bar\phi)\\ =\frac{\phi^{2n}-\bar\phi^{2n}}{\sqrt 5}=F_{2n}}$

となり、確かにFibonacci数が出てきました！
よって最初の積分の値は

$\displaystyle{I=\lim_{n\to\infty}\frac{\log F_{2n}}{n}\\=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(\log \phi^{2n}-\log\sqrt5+\log\left(1-\frac{1}{\phi^{4n}}\right)\right)\\ =2\log\phi}$

と求まります。

なお、この方法はより一般に $\log(a+b\cos x)$ 型の積分にも応用できます。ぜひ考えてみてください。