【解決編】平面上の凸図形に含まれる多角形の面積

前回の記事で，次のような問題の解答を募集しました．

問題．平面上の凸図形 $X$ に対し，「 $X$ に含まれる $n$ 角形の面積の最大値を $X$ の面積で割ったもの」を $M_n(X)$ と書く． $X$ を動かしたとき， $M_n(X)$ のとりうる値の最小値は何か？

fibonacci-freak.hatenablog.com

これについてある方からTwitterでリプライをいただき，なんとこの問題は

E. Sasという数学者により1939年に解かれていた

ことが判明しました！（昔の人，すごい！）

そこで，今回はその証明を紹介したいと思います．簡潔な証明なのですぐに終わります．

定理 (E.Sas, 1939)．任意の凸図形 $X$ に対し $M_n(X)\geq \dfrac{n}{2\pi}\sin\dfrac{2\pi}{n}$ であり， $X$ が円のときに等号が成立する．

証明． $X$ に含まれる線分のうち距離が最大のものを1つとり $AB$ とする．問題の内容は相似で不変なので $AB$ の長さが $2$ であると仮定してよい． $A=(-1,0), B=(1,0)$ となるように座標をとる． $AB$ の最大性から， $X$ は $-1\leq x\leq 1$ の範囲に入ることに注意する．

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各 $\theta\in[0,\pi]$ に対し $\{(x,y)\in X\mid x=\cos\theta\}$ における $y$ の最大値を $h(\theta)$ と定める．同様に $\theta\in[\pi,2\pi]$ に対しては $y$ の最小値を $h(\theta)$ と定める．すると $X$ の境界は

$f(\theta):=(\cos\theta,h(\theta))$

によりパラメータづけできる．このとき $X$ の面積は

$\displaystyle X=\int_{\theta=0}^{2\pi}-h(\theta) dx(\theta)=\int_0^{2\pi}h(\theta)\sin\theta d\theta$

となる．

ここで $t\in[0,2\pi]$ を1つとり， $t_k=t+\dfrac{2k\pi}{n}$ と定める． $f(t), f(t_1), f(t_2),\dots,f(t_{n-1})$ を頂点とする $n$ 角形の面積を $S(t)$ とすると，和積の公式より

$\displaystyle \begin{align*}S(t)=\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{\cos t_k h(t_{k+1})-\cos t_{k+1}h(t_k)}{2}\end{align*}\\ \displaystyle =\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{(\cos t_{k-1} -\cos t_{k+1})h(t_k)}{2}\\ \displaystyle=\sum_{k=0}^{n-1} \sin t_k\sin\dfrac{2\pi}{n} h(t_k)$

と表すことができる．よって $t$ を無作為にとったときの $S(t)$ の期待値は

$\displaystyle \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}S(t)dt=\dfrac{n}{2\pi}\sin\dfrac{2\pi}{n}\int_0^{2\pi}h(\theta)\sin\theta d\theta=\dfrac{n}{2\pi}\sin\dfrac{2\pi}{n}\cdot X.$