【講演ノート】12点定理 - フィボナッチ・フリーク

数物セミナー2017冬の談話会＠慶應義塾大学にて，「12点定理」について講演しました．以前からずっとブログで紹介したい！と思っていた内容なのですが，ブログに書く時間がないことに気づいたので（最近数学が忙しいのです），講演用に準備した原稿をそのまま置いておきます．

わざわざホモトピーを定義しているのに線積分のホモトピー不変性は説明していなかったり，単連結という用語を無定義で使っていたりと，ツッコミどころ満載ですが，どうか大目に見てください．

内容のざっくりした説明

12点定理は平面上の格子点を結んでできるある種の多角形 $P$ とその「双対」 $P^\vee$ を考えたとき，それぞれの周上にある格子点の数を足すと必ず12になる，という不思議な定理です．この定理にはたくさんの証明が知られていますが，今回は $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ の考察，普遍被覆への持ち上げ，そしてモジュラー形式を用いてこれを証明します．