痩せた集合・太った集合 - フィボナッチ・フリーク

私は痩せています。どのくらい痩せているかというと、アスパラぐらいです。

実は数学には「痩せた集合」という概念があって、私はだいぶ親近感を持っています。今日はその痩せた集合について書きたいと思います。

まずは痩せた集合の定義をしましょう。

定義. $X$ を位相空間、 $A$ をその部分集合とする。
(1) $A$ が稀薄であるとは、 $A$ の閉包が内点を持たないことをいう。
(2) $A$ が痩せた集合（または第1類集合）であるとは、高々可算個の稀薄な集合の合併として表せることをいう。
(3) $A$ が太った集合（または第2類集合）であるとは、痩せた集合でないことをいう。

今回は位相空間と言ったら実数 $\mathbb{R}$ や区間 $[0,1]$ などのことだと思っても差し支えありません。また太った集合というのはここだけのネーミングで、一般的ではありません。

例えば $X=[0,1]$ とすると、 $A=\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{Z}_{\gt 0}\}\cup \{0\}$ は内点を持たない閉集合なので稀薄な集合で、とくに痩せた集合です。また $[0,1]$ 自身は太った集合になります。このことは次のBaireの範疇定理からわかります。

定理(Baireの範疇定理). 完備距離空間の痩せた部分集合は内点を持たない。特に完備距離空間は（それ自身の部分集合として）太った集合である。

証明はいろんなところに書いてあるので省略します。

もう一つ痩せた集合の代表としてカントール集合が挙げられます。これは $[0,1]$ から始めて「つながった区間を3等分して真ん中の開区間を取り除く」という操作を無限回繰り返して得られる集合です。開区間を取り除いているので出来上がる集合は閉集合になります。

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真ん中を取り除くごとに連結成分1つ分の長さは $\dfrac{1}{3}$ になるので、内点を持たない（区間を含まない）、つまり痩せた集合であることがわかります。また真ん中を取り除くごとに測度（長さの合計）は $\dfrac{2}{3}$ になるので、カントール集合は測度0です。

さて、今回伝えたいのは「痩せた集合も結構すごい」という事実です。具体的には $[0,1]$ の部分集合で、痩せた集合にもかかわらず正の測度を持つものが存在するのです！

それが「太ったカントール集合」です。「太った」と付いていますが、これは「カントール集合に比べたら太っている」という意味で、実態は痩せた集合です。

太ったカントール集合の構成は簡単です。まず区間 $[0,1]$ から始めて、中央から長さ $\dfrac{1}{4}$ の開区間を取り除きます。次に残った2つの区間それぞれの中央から長さ $\dfrac{1}{16}$ の開区間を取り除きます。次は $\dfrac{1}{64}$ 、その次は $\dfrac{1}{256},\cdots$ と、 $\dfrac{1}{4^n}$ の開区間を次々に取り除いてきます。これを無限回繰り返したとき残る集合が太ったカントール集合です。

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これも区間を取り除くごとに連結成分1つ分の長さが半分以下になるので、内点を持たず、痩せた集合であることがわかります。

太ったカントール集合の測度は

$1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{16}-\dfrac{4}{64}-\cdots-\dfrac{2^n}{4^{n+1}}-\cdots\\=1-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\cdots\right)\\=\dfrac{1}{2}$