Fibonacci数の逆数和は無理数である
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皆さん、Fibonacci数は好きですか?好きですよね。私も大好きです。
今回は21世紀に生きるフィボナッチ・フリークなら必ず一度は証明を読んでおきたい"あの"定理を示しましょう。
Fibonacci数の逆数の和
はReciprocal Fibonacci Constantと呼ばれ、その値はおよそ
となります。この数は無理数であることがAndré-Jeanninにより1989年に示されました。ここではDuverney(1997)(私が生まれた年!)により簡略化されたその証明を紹介したいと思います。
まず証明に必要な-指数・対数関数というものを定義します。
と定め、-指数関数と呼ぶ。また
と定め、-対数関数と呼ぶ。
これらは通常の指数・対数を定義する級数
の自然数の部分をというパラメータに置き換えたものになっています。このような置き換えは-類似と呼ばれています。
今回の証明の鍵となるのは次の性質です。
証明. まず
より
これを繰り返し用いて
を得る。対数を取り微分すると
一方で
を繰り返し用いると
を比較すれば命題の式を得る。
それでは主定理を証明しましょう。
証明. と置く。は-対数関数を使って
と書ける。これが有理数(は互いに素な整数)だったと仮定する。すると上の命題より
となる。の定義式に代入すると
ここで上の式の無限和をとに分割すると
分母を払えば
左辺の値をとし、右辺の無限和の中身をと置くと
と評価できる(はある正の定数)。ゆえにある正の定数があって
一方での共役無理数(をに置き換えたもの)をと置くと、なので、がに収束することに注意すれば
(はある正の定数)と評価できる。これらを合わせれば
ここでは定義より代数的整数なので上式左辺は整数であり、あるが存在してでなければならない。このとき(3)式の左辺もになる。として差分をとれば
となり、の無理性に反する。ゆえには無理数である。
ちなみにが超越数かどうかは未解決問題です(ぜひチャレンジしてみてください!)。一方でFibonacci数の逆数の2n乗和は超越数であることがわかっています。奇数乗和に関してわかっていることは少なく、ちょうどRiemannゼータ関数の特殊値のような状況になっています。これからどんな結果が出てくるか楽しみですね。