バーゼル問題の二重対数による解法 - フィボナッチ・フリーク

バーゼル問題とは $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ の値( $=\pi^2/6$ )を求める問題で、当ブログでは以前Calabiによる短い証明を紹介しました。

fibonacci-freak.hatenablog.com

今回はこのバーゼル問題の、二重対数関数(Dilogarithm)という不思議な関数を使った解法を紹介します。

二重対数関数とは $|x|\lt 1$ で収束する級数

$\displaystyle\mathrm{Li}_2(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^2}$

で定義される関数です。今回求めたい級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ は $\mathrm{Li}_2(1)$ と書くことができます（厳密には $x\to 1$ の極限）。よく知られた $\log$ の級数展開

$\displaystyle -\log(1-x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$

を $x$ で割り1回積分することで、積分表示

$\displaystyle \mathrm{Li}_2(x)=-\int_0^x\frac{\log(1-t)}{t}dt$

が得られます。被積分関数は $[1,\infty)$ を除いて一価正則に定義できるので、その領域内での線積分によって逆に $\mathrm{Li}_2(x)$ を定めれば定義域を $\mathbb{C}\setminus[1,\infty)$ に延長（解析接続）して考えることができます。以下この延長を考えます。

さて、この関数の性質を見ていきましょう。

命題1. $\displaystyle\mathrm{Li}_2(-1)=-\frac{\mathrm{Li}_2(1)}{2}.$

証明. 級数表示より $~\displaystyle{\mathrm{Li}_2(1)-\mathrm{Li}_2(-1)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{(2n)^2}=\frac{\mathrm{Li}_2(1)}{2}}.$ これを移項すればよい。 $\square$

命題2. $\mathrm{Im}~x\gt0$ に対し、 $\displaystyle\mathrm{Li}_2(x)+\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{x}\right)=\pi i\log x-\frac{\log^2 x}{2}+2\mathrm{Li}_2(1).$

証明. 左辺を微分すると

$\displaystyle{\frac{d}{dx}\left(\mathrm{Li}_2(x)+\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{x}\right)\right)\\=\frac{-\log(1-x)+\log(1-1/x)}{x}\\=\frac{1}{x}\left(\log\left|\frac{1-1/x}{1-x}\right|+i\arg\left(\frac{1-1/x}{1-x}\right)\right)\\=\frac{1}{x}\left(-\log|x|+i\arg \left(-\frac{1}{x}\right)\right)\\=\frac{1}{x}(-\log|x|+i(\pi-\arg x))\\=\frac{\pi i-\log x}{x}}$ .