フィボナッチ・フリーク

数学の小ネタ集。

Fibonacci Freak

【解答募集】平面上の凸図形に含まれる多角形の面積

追記:解決したので「解決編」を書きました.

fibonacci-freak.hatenablog.com

 

 

 

 

私は今(2017年12月5日現在),こんな問題を考えています.

問題.平面上の凸図形Xに対し,「Xに含まれるn角形の面積の最大値をXの面積で割ったもの」をM_n(X)と書く.Xを動かしたとき,M_n(X)のとりうる値の最小値は何か?

 

たとえばXが正六角形の場合,M_3(X)=\dfrac{1}{2}, M_4(X)=\dfrac{2}{3}等となります.nを大きくしていくとM_n(X)は1に近づくことも推測されます.

 

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今のところ自分で導けた結果は次の2つです.

命題.M_3(X)\gt\dfrac{1}{3}.

証明.凸図形Xに含まれる三角形のうち面積が最大のものを1つ取り,その頂点をA, B, Cとする.これらはXの周上にあるとしてよい.ABC180^\circ回転させた図形(以下「耳」と呼ぶ)を各辺に貼り付けると,下図のような大きな三角形が得られる.面積の最大性から,Xはこの三角形に含まれることがわかり,M_3(X)\gt\dfrac{1}{4}が従う.

 

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さらにXのうち3つの耳に含まれる部分の面積を評価する.3つの耳を平行移動して全て重ねた時,Xと交わっていた部分(図の赤い部分)全てに含まれる点があったとすると,もとの図形の中でそれらはABCと等しい面積を持つ三角形をなす.ゆえに赤い部分は境界以外では高々2つまでしか交わらないので,赤い部分の面積はABCの高々2倍であり,Xの面積はABCの高々3倍であることがわかる.よってM_3(X)\gt\dfrac{1}{3}\square

 

命題.M_4(X)\gt\dfrac{1}{2}.

証明.凸図形Xに含まれる四角形のうち面積が最大のものを1つ取り,その頂点をA, B, C, Dとする.これらはXの周上にあるとしてよい.A,Cそれぞれを通り対角線BDに平行な直線と,B,Dそれぞれを通り対角線ACに平行な直線を描くと,ABCDの2倍の面積を持つ平行四辺形が得られる.面積の最大性からXはこの平行四辺形に含まれることがわかり,M_4(X)\gt\dfrac{1}{2}が従う.\square

 

(それから一応,M_3(X)\gt\dfrac{3}{8}という評価も得られたような気になっていますが,証明が複雑なので間違っている気もしています.確証が得られたら追記します.)

 

しかし正直なことを言うと,さすがにもっと良い評価が得たい!という気持ちでいっぱいです.

そこで,ぜひ優秀な読者の皆さんにも一緒に考えてもらいたい,というわけです.

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