バーゼル問題の短い証明 - フィボナッチ・フリーク

バーゼル問題とは、平方数の逆数の和

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}$

の値を求めよという問題で、1735年にEulerによってこれが $\dfrac{\pi^2}{6}$ であることが示されました。現在では多種多様な証明が知られていますが、今回はE.Calabiによる短く巧妙な証明を紹介します。

積分 $\displaystyle{\int_0^1\int_0^1\frac{1}{1-x^2y^2}dxdy}$ を2通りの方法で計算します。まず被積分関数を等比数列の和 $1+x^2y^2+x^4y^4+\cdots$ と見て項別積分すると

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^1\int_0^1 x^{2n}y^{2n}dxdy=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}}$

となり、この値は

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}=\frac{3}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}}$

に等しいことがわかります。一方で $x=\dfrac{\sin t}{\cos u}, y=\dfrac{\sin u}{\cos t}$ と置換するとこれは三角形領域

$D=\{(t,u)\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]^2\mid t+u\leq \dfrac{\pi}{2}\}$

上の積分となり、Jacobianは

\[\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial t}&\dfrac{\partial x}{\partial u}\\ \dfrac{\partial y}{\partial t}&\dfrac{\partial y}{\partial u}\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \dfrac{\cos t}{\cos u}&-\dfrac{\sin t\sin u}{\cos^2 u}\\ -\dfrac{\sin t\sin u}{\cos^2 t}&\dfrac{\cos u}{\cos t}\\ \end{vmatrix}=1-x^2y^2 \]

となります（！）よって積分の値は

$\displaystyle{\int_D dtdu=\frac{\pi^2}{8}}$