フィボナッチ・フリーク

数学の小ネタ集。

Fibonacci

Fibonacci素数とF-完全数

完全数とは「自分自身以外の約数の総和が自分自身になる」ような正整数のことで、と続きます。 これの仲間として「自分自身以外の約数の2乗和が自分自身の3倍になる」ような正整数を「F-完全数」と呼ぶことにしましょう。最初の3つのF-完全数は となります。…

Fibonacci数の逆数和は無理数である

【注意】この記事には横に長い数式が多く含まれます。小さい端末では画面を横向きにすることを推奨します。 皆さん、Fibonacci数は好きですか?好きですよね。私も大好きです。 今回は21世紀に生きるフィボナッチ・フリークなら必ず一度は証明を読んでおきた…

奇跡の楕円曲線と144

私が最も好きな不定方程式の一つに、次のものがあります。 いわゆる楕円曲線の一種です。この方程式の整数解は全部でいくつあるでしょうか? まず方程式の形からがわかります。順に試していけばすぐにという解が見つかります。ここから先はなかなか解が現れ…

石取りゲームとFibonacci数

2人で次のようなゲームをします。 石が個積まれている()。交互に1つ以上の石を取り去り、最後の石を取れば勝ちである。ただし次のルールを守らなければいけない。 (1) 先手は最初に全ての石をとってはいけない。 (2) 相手が直前に取った石の数の2倍より多く…

Fibonacci数を隠し持つ積分

次の定積分の値は何になるでしょうか? 実はこの積分はFibonacci数と深い関係があります。被積分関数は を挟んで対称なので ここでの中身の積の部分に注目します。これは実はFibonacci数になっています(!)Fibonacci数とは で定義される数列でした。 と置…