フィボナッチ・フリーク

数学の小ネタ集。

素数

素数の無限性の一風変わった証明

素数が無限に存在することはもはや人類の常識と言えますが、その証明を沢山知っている人は少ないように感じます。 私は証明そのものを鑑賞するのが好きなタイプなので、以前からずっと素数の無限性のオリジナル証明を作れないかと考えていたのですが、この間…

グラフと素数:Erdős-Evansの定理

からまでの整数から相異なる数を取り、「がと互いに素ならを結ぶ」という規則でたちを頂点とするグラフを作ってみましょう。例えばとしてを選ぶと下のようなグラフが得られます(小さい数字は)。 グラフをこのような方法で作ることができるとき、はで表現可…

2^n+1を割り切る素数の密度は17/24

という数列を考えましょう。 これは全て奇数ですからの倍数は登場しません。の倍数は上の列に出てきていますね。しかしの倍数は見当たりません。実はこの列にはの倍数は現れないのです。これはが と循環し、が現れないことからわかります。 では、の素因数に…

Fibonacci素数とF-完全数

完全数とは「自分自身以外の約数の総和が自分自身になる」ような正整数のことで、と続きます。 これの仲間として「自分自身以外の約数の2乗和が自分自身の3倍になる」ような正整数を「F-完全数」と呼ぶことにしましょう。最初の3つのF-完全数は となります。…