フィボナッチ・フリーク

数学の小ネタ集。

Fibonacci Freak

積分

ζ(2,1)=ζ(3)の2通りの証明

今回の登場人物は次の2つの実数です。 , . は有名なAperyの定数という無理数です。一方での方は初めて見た方も多いかもしれません。これは多重ゼータ値と呼ばれる実数の族のうち最も単純なものです。 さて、冒頭に「2つの実数」と書きましたがこれは厳密には…

バーゼル問題の二重対数による解法

バーゼル問題とはの値()を求める問題で、当ブログでは以前Calabiによる短い証明を紹介しました。 fibonacci-freak.hatenablog.com 今回はこのバーゼル問題の、二重対数関数(Dilogarithm)という不思議な関数を使った解法を紹介します。 二重対数関数とはで収…

Fibonacci数を隠し持つ積分

次の定積分の値は何になるでしょうか? 実はこの積分はFibonacci数と深い関係があります。被積分関数は を挟んで対称なので ここでの中身の積の部分に注目します。これは実はFibonacci数になっています(!)Fibonacci数とは で定義される数列でした。 と置…

バーゼル問題の短い証明

バーゼル問題とは、平方数の逆数の和 の値を求めよという問題で、1735年にEulerによってこれがであることが示されました。現在では多種多様な証明が知られていますが、今回はE.Calabiによる短く巧妙な証明を紹介します。積分を2通りの方法で計算します。まず…